周期函数的定积分公式是一个重要的概念，在微积分中有广泛应用。以下是对这一公式及其推导的介绍：

1. **周期性的定义**：如果存在一个非零常数 \\( T \\)，使得对于定义域内的任意 \\( x )，都有 \\( f(x) = f(x + T) \\) 恒成立，则称 \\( f(x) \\) 为周期函数，\\( T \\) 称为这个函数的一个周期。周期函数的图像会沿着 \\( x ) 轴方向重复出现。

2. **积分周期性公式**：设 \\( f(x) ) 是连续的周期函数，最小正周期为 \\( T \\)，则有 \\( \\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \\int_{0}^{T} f(x) dx \\)。这个公式说明，对于周期函数在一个周期区间上的积分，其值仅与该周期内的行为有关，而与起点 ( a \\) 无关。

3. **公式推导**：考虑周期性质 \\( f(x) = f(x + T) )，我们可以将积分区间 \\( [a, a + T] ) 分为两部分：\\( [a, a + T - \\epsilon] \\) 和 \\( [\\epsilon, a + T] )，其中 \\( \\epsilon ) 是一个足够小的正数。由于 \\( f(x) \\) 在 \\( [a + T - \\epsilon, a + T] \\) 上的值与 \\( [\\epsilon, T] \\) 上的值相同，因此这两个区间上的积分相等。所以，原积分可以写为 ( \\int_{a}^{a + T - epsilon} f(x) dx + \\int_{\\epsilon}^{T} f(x) dx )。当 \\( \\epsilon ) 趋近于 0 时，第一部分积分趋向于 ( \\int_{a}^{a+T} f(x) dx \\)，第二部分积分趋向于 \\( \\int_{0}^{T} f(x) dx )。由于 \\( f(x) \\) 是连续的，根据积分的基本性质，我们可以得到 \\( \\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \\int_{0}^{T} f(x) dx \\)。

4. **实际应用**：这个公式在计算涉及周期性函数的积分时非常有用，尤其是在物理和工程领域，如计算一个周期内的平均力、功率等。

综上所述，周期函数的定积分公式是基于函数的周期性和积分的线性性质得出的。这个公式简化了周期性现象的数学处理，使得我们能够更有效地计算和分析周期函数在一定时间或空间范围内的行为。