首先，第三代社保卡的发放通常是分阶段进行的，可能首先针对某些特定区域或特定人群进行试点。因此，如果当前不在试点范围内，就可能无法立即申请第三代社保卡。例如，北京市目前在西城区、石景山区、怀柔区进行了试点换发工作，主要面向这三个区内的参保企业的在职职工，而个人申领暂未开放。后续计划从2024年6月起，逐步启动全市在职职工、退休和灵活就业人员、“中小幼”人群的换发工作。因此，如果您不属于这些试点范围或特定人群，就可能会显示没有资格。
其次，原有一二代社保卡目前并未设置停用时间，因此在换发第三代社保卡的过程中，可能并不需要立即更换。只有当试点范围扩大到您所在的区域或您符合申请条件时，才有资格进行换发。
此外，显示没有资格还可能是由于其他操作或系统问题导致的。例如，如果您尝试通过非法途径或未经授权的渠道进行申请，系统可能会拒绝您的请求并显示没有资格。同时，如果系统存在故障或错误，也可能导致类似的问题。
最后，需要注意的是，北京市人力资源和社会保障局已经明确表示，目前未开放个人申领第三代社保卡，也没有发送含有网页链接的短信通知索要社保卡金融账号和支付密码等个人敏感信息。因此，在申请社保卡时，一定要通过正规渠道，并警惕可能存在的诈骗行为。
综上所述，如果您显示没有资格申请北京第三代社保卡，可能是由于试点范围、申请条件、操作问题或系统问题等多种原因导致的。建议您关注官方公告和通知，了解最新的换发政策和申请流程，并确保通过正规渠道进行操作。